I fondamentali nell'espressione dell'incertezza di misura

Questa sezione presenta un metodo semplificato per calcolare ed esprimere correttamente l'incertezza di misura. L'approccio è quello utilizzato dal NIST, lstituto di Metrologia degli Stati Uniti, caratterizzato dal pragmatismo, efficacia e semplicità d'uso che normalmente fanno parte del modo di lavorare dei colleghi d'oltreoceano. In particolare si fa riferimento al documento NIST Technical Note 1297 (TN 1297), Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, in parte basato sulla Guida ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement.

Per le definizioni dei termini utilizzati è possibile consultare il glossario oppure fare riferimento al documento ISO Guide, entitled the International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (VIM)

Premettiamo subito che questo approccio analitico (che chiamiamo da laboratorio) è diverso da quello pratico, utilizzato in azienda (MSA, o studio R&R). Qui andiamo a studiare a priori tutto ciò che può aiutarci a dare un numero ben definito all'incertezza di misura che segue la misura che diamo ad una grandezza. Qui non parliamo di tolleranze di lavorazione da rispettare!.

Là invece (MSA) eseguiamo una serie di misure, utilizzando diversi operatori e diversi pezzi, per poter stabilire, a fronte di definite tolleranze di lavorazione, se il nostro processo di misura (limitato a pezzo, strumento, operatore) è capace, cioè se possiamo essere ragionevolmente certi che il nostro sistema di misura abbia una ripetibilità (errore strumento) e riproducibilità (errore operatore) tali da coprirci dal rischio di accettare pezzi difettosi o rifiutare pezzi buoni. In pratica vogliamo solo capire se siamo abbastanza lontani dalle tolleranze indicate sul disegno. Molto spesso questo approccio è sufficiente in ambito industriale.

Se vogliamo seguire l'approccio da laboratorio, la sequenza da seguire è tutta in questi 5 passi:

1) capire quali elementi influiscono sull'equazione (o processo) di misura e quali vogliamo ritenere significativi
2) considerare le loro incertezze
ui e classificarle secondo il tipo A o B (in pratica: calcolarle oppure ricavarle dalle fonti disponibili)
3) sommarle tra di loro secondo la (6) con le opportune semplificazioni, trovando l'incertezza composta
uc
4) definire un fattore correttivo che ci possa andare bene (di solito si prende k = 2) e trovare l'incertezza estesa U
5) dare il nostro risultato di misura come media delle misure rilevate ± U

Se hai dubbi o necessità di chiarimenti, contattaci.


Passo 1 - Definizioni

Equazione del processo di misura

La quantità che vogliamo misurare Y (misurando) è legata ad n grandezze X1, X2, . . . , XN , tramite una funzione f, chamata equazione di misura:

Y = f(X1, X2, . . . , XN) (1)

Delle grandezze Xi fanno parte anche eventuali fattori correttivi, o altri fattori che tengono in considerazione altre sorgenti di variabilità della misura, dovute ad altri operatori, altri strumenti di misura, altri campioni, altri laboratori, altri momenti in cui la misura viene rilevata, etc. La funzione f dell'equazione (1) non è l'espressione di una legge fisica, ma descrive matematicamente un intero processo di misura. Essa deve contenere tutte le quantità che possono contribuire in modo significativo all'incertezza di misura globale.

Andiamo a stimare la variabile di uscita Y con una stima y, ottenuta da (1) utilizzando stime x1, x2, . . . , xN per le quantità X1, X2, . . . , XN, ottenendo una stima y, data da:

y = f(x1, x2, . . . , xN). (2)

Esempio: se applichiamo una differenza di potenziale V ai terminali di un resistore (a resistenza variabile con la temperatura) con una resistenza R0 alla temperatura t0 ed un coefficiente lineare di dipendenza dalla temperatura b, la potenza dissipata P (il misurando) alla temperatura t dipende dalle grandezze V, R0, b, e t secondo la legge

P = f(V, R0, b, t) = V2/R0[1 + b(t - t0)] (3)

Passo 2 - Classificazione dei contributi dell'incertezza di misura

L'incertezza di misura di y nasce dalle singole incertezze u (xi) (indicate anche con ui ) delle singole grandezze di ingresso xi nell'equazione (2). Nell'esempio (3) l'incertezza di misura della potenza stimata P deriva dalle singole incertezze dei valori stimati della differenza di potenziale V, resistenza R0, coefficiente di temperatura b, e temperatura t. Questi vengono chiamati contributi di incertezza e vengono normalmente classificati in base al metodo utilizzato per calcolarli.

Incertezza di tipo A
metodo di valutazione dell'incertezza basato sulla analisi statistica di serie di misure (es. quando calcoliamo lo scarto tipo campionario delle misure che abbiamo rilevato- vedi oltre)

Incertezza di tipo B
metodo di valutazione dell'incertezza basato su metodi diversi dall'analisi statistica (es. quando prendiamo il contributo da un certificato di taratura di un campione primario, fidandoci dei calcoli che chi ha redatto il certificato ha eseguito).


Come valutare i contributi di tipo A

La valutazione di un contributo di tipo A è basata su un qualsiasi metodo statisticamente valido. Esempi: calcolare la deviazione standard della media di una serie di osservazioni indipendenti; utilizzare il metodo dei minimi quadrati per adattare una curva ai dati, definendone i parametri e le loro deviazioni standard, eseguire una analisi della varianza (ANOVA) per analizzare e quantificare gli effetti casuali in determinati tipi di misure.

Media e deviazione standard

Come esempio di valutazione di tipo A, consideriamo una quantità Xi il cui valore è stimato da n osservazioni indipendenti Xi ,k di Xi ottenute con identiche condizioni di misura, in questo caso la stima di xi è la media campionaria

  1.                                               (4)

e l'incertezza standard u(xi) associata ad xi è la deviazione standard della media campionaria

  1.                     (5)

Attenzione al termine 'della media campionaria', non dimenticare di dividere per la radice di n la deviazione standard (quella con il termine (n-1) sotto radice).
Molto spesso si parla genericamente di deviazione standard, tralasciando il termine
campionaria. In questo caso spesso ci si dimentica di quel famoso termine 'radice di n'.


Come valutare i contributi di tipo B

Un tipico contributo di tipo B è il dato di incertezza prelevato, ad esempio, da un certificato di taratura di un campione di riferimento (chiamato campione di prima linea). Attenzione: si deve prendere l'incertezza composta e depurare, in questo caso, il fattore di correzione!. Se sul certificato è riportata l'incertezza estesa (come normalmente accade) questa va divisa per il fattore k. Tutti i termini che entrano nel bilancio delle incertezze devono essere omogenei!


I contributi dell'incertezza di misura, come visto sopra, possono essere di due tipi:

Incertezza standard di tipo A: Un contributo di incertezza ottenuto da una valutazione di tipo A è rappresentato da una deviazione standard della media campionaria valutata statisticamente si, ed è pari alla radice quadrata della varianza stimata statisticamente si2, con l'associato numero di gradi di libertà vi. Per questo contributo l'incertezza standard è ui = si.

Incertezza standard di tipo B: Un contributo di incertezza ottenuto da una valutazione di tipo B è rappresentato da una quantità uj , considerata come una approssimazione della corrispondente deviazione standard. Essa è la radice quadrata di uj2, considerata come un'approssimazione della varianza corrispondente, ed è ottenuta sulla base di una distribuzione di probabilità ipotizzata in base alle informazioni disponibili. Poichè uj2 viene tratta a tutti gli effetti come se fosse una varianza e uj come se fosse una deviazione standard, per questo contributo l'incertezza standard è uj.

Passo 3 - Come combinare fra di loro i contributi per calcolare l'incertezza composta

L'incertezza di misura composta (combined standard uncertainty) della misura y, indicata da uc(y) ed utilizzata per rappresentare la deviazione standard del risultato di misura, è la radice quadrata della varianza stimata uc2(y) ottenuta con questa formula:
  1.                    (6)

L'equazione (6) non è altro che la scomposizione in serie di Taylor (primo ordine) dell'equazione di misura Y = f(X1, X2, . . . , XN) vista in (1), ed è chiamata legge di propagazione dell'incertezza (o legge di propagazione degli errori). Le derivate parziali di f rispetto alle Xi (chiamati coefficienti di sensibilità) sono uguali alle derivate parziali di f rispetto alle Xi valutate per Xi = xi;
u
(xi) è l'incertezza associata alla variabile stimata di input xi
u
(xi, xj) è la covarianza stimata associata ad xi e xj.

Semplificazione
L'equazione (6) molto spesso si riduce ad una espressione molto semplice. Se si fa l'ipotesi che le stime di ingresso xi delle grandezze Xi non siano correlate, il secondo termine scompare. Una forma particolarmente semplice si ha in uno dei due casi seguenti:

Equazione di misura:
Somma di grandezze Xi moltiplicate da costanti ai --> Y = a1X1+ a2X2+ . . . aNXN

Misura: y = a1x1 + a2x2 + . . . aNxN

Incertezza standard composta: uc2(y) = a12u2(x1) + a22u2(x2) + . . . aN2u2(xN)


Equazione di misura:
Prodotto delle quantità Xi, elevate alla potenza a, b, ... p, e moltiplicate per la costante A -> Y = AX1a X2b. . . XNp

Misura: y = Ax1a x2b. . . xNp

Incertezza standard composta: uc,r2(y) = a2ur2(x1) + b2ur2(x2) + . . . p2ur2(xN)

ur(xi) è l'incertezza standard relativa (relative standard uncertainty) di xi ed è definita da ur(xi) = u(xi)/|xi|, dove |xi| é il valore assoluto di xi ed xi è diverso da zero; uc,r(y) è l'incertezza standard relativa combinata (relative combined standard uncertainty) di y e definita da uc,r(y) = uc(y)/|y|, dove |y| è il valore assoluto di y (con y diverso da zero).

Significato 'fisico' dell'incertezza di misura come intervallo di confidenza
Se la distribuzione di probabilità tipica della misura y e della sua incertezza composta uc(y) è normale (gaussiana), e uc(y) è uno stimatore corretto della deviazione standard di y, allora l'intervallo da y ­ uc(y) a y + uc(y) contiene circa il 68 % dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti ad Y, di cui y è una stima. Questo significa dire con un livello di confidenza del 68% che Y è compresa tra i valori y­ uc(y) e y + uc(y). Ciò viene normalmente espresso con = y ± uc(y).

Passo 4 - Decidere il fattore di copertura e trovare l'incertezza estesa

Incertezza estesa
Sebbene l'incertezza standard composta
uc venga usata per esprimere l'incertezza di molti risultati di misura, per ragioni commerciali, industriali e normative (es. quando si tratta di salute e sicurezza), quella che spesso viene richiesta è una misura di incertezza che definisca un intervallo, intorno al risultato della misura y, che possa ragionevolmente contenere il valore vero del misurando Y. La misura dell'incertezza utilizzata per soddisfare questo requisito è l'incertezza di misura estesa, per la quale viene utilizzato il simbolo U, ottenuta moltiplicando uc(y) per un un fattore di copertura (indicato con k). Pertanto si considera U = kuc(y) e si ritiene che il valore vero del misurando sia compreso tra y - U ed y + U (normalmente si scrive Y = y ± U).

Fattore di copertura
In generale, k viene scelto sulla base del livello di confidenza richiesto da associare all'intervallo
U = kuc. Tipicamente, k ha un valore di 2 o 3. Quando è valida la distribuzione normale ed uc è una stima affidabile della deviazione standard di y, U = 2 uc (k = 2) definisce un intervallo con un livello di confidenza di circa il 95%, ed U = 3 uc (k = 3) definisce un intervallo con un livello di confidenza maggiore di 99%. Il fattore scelto deve essere indicato sul certificato di taratura, altrimenti non saremmo in grado di ricavare l'incertezza composta, che deve entrare come contributo nell'equazione (6).

Incertezza estesa relativa
In analogia con l'incertezza relativa standard
ur e l'incertezza composta standard uc,r definita nelle formule semplificate di (6), l'incertezza relativa estesa di una misura y è Ur = U/|y|, con y diverso da zero.

Tabella
Consigliamo vivamente di preparare una procedura, descrivendo bene tutto ciò che si è fatto, e di mettere tutti i contributi in una tabella, come mostrato negli esempi della guida EA o in questa schermata. Ciò aiuta a lavorare in modo ordinato ed a capire quali criteri ha seguito chi ha fatto i calcoli.


Passo 6 - Come riportare l'incertezza di misura nel certificato di taratura

Supponiamo di voler riportare la misura di un campione M di massa 200 grammi. Con pesate successive abbiamo trovato una media di M = 200.02152 g con un'incertezza standard composta (deviazione standard campionaria) di
uc = 0.35 mg. Potendo assumere che i valori stimati del campione siano distribuiti normalmente con deviazione standard campionria approssimata uc, presumiamo che il valore ignoto del campione si trovi nell'intervallo m ± uc, con un livello di confidenza di circa il 68%. Volendo esprimere l'incertezza, scriviamo M = (200.02152 ± 0.00070) g, dove il numero dopo ± è il valore numerico dell'incertezza estesa U = kuc, con U ricavata dall'incertezza standard composta (deviazione standard stimata) uc = 0.35 mg ed un fattore di copertura k = 2. Potendo assumere che i valori stimati del campione siano distribuiti normalmente con deviazione standard approssimata uc, si ritiene che il valore ignoto del campione si trovi nell'intervallo definito da U, con un livello di confidenza di circa il 95%.

Alcune grandezze vengono riportate con l'incertezza di misura espressa in valore percentuale (ad esempio, i valori di coppia nei certificati di taratura degli strumenti torsiometrici). Consigliamo di riportare tutto nelle stesse unità di misura (in questo caso esprimere tutto in Nm, dividendo per 100 e moltiplicando per il valore di coppia nominale).

A questo punto, con il certificato alla mano, nel quale è riportata questa misura M = (200.02152 ± 0.00070) g, entra in gioco l'aspetto commerciale o aziendale della misurazione.
Entrano in gioco altri concetti come: gli indici di capacità del processo (Cp e Cpk), il rischio del consumatori/produttore, il valore di ppm (parti per milione), la regolazione dello strumento, etc...

Attenzione: contrariamente all'uso classico del termine, la taratura NON prevede una regolazione dello strumento, in modo tale che il valor medio sia pressapoco vicino al valore nominale (quello indicato sulla scala graduata), come ci si potrebbe aspettare.
Un Centro SIT rilascerà un Certificato di taratura senza operare questo tipo di modifica sullo strumento, ma si limiterà a eseguire delle misure su un campione di riferimento (chiamato campione di prima linea) segnalando gli scostamenti da esso.

Ecco perchè è fondamentale guardare le misure riportate sul certificato di taratura, e non solo il risultato finale dell'incertezza di misura.

Per una discussione approfondita su questi temi fare rifeimento alla pagina iniziale di questo sito.

Cosa fare se le mie tolleranze di lavorazione sono pericolosamente vicine a questo intervallo? Vuol dire che il rischio di scartare pezzi buoni o accettare pezzi difettosi, utilizzando quello strumento di misura (in questo caso una bilancia) comincia a farsi reale. Sarà necessario, tipicamente, cambiare strumento di misura o rivedere le tolleranze di lavorazione.

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